Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Soit
la fonction définie et dérivable sur
telle que :
Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.
1.La fonction\(\boldsymbol{\text{exp}}\)ne s'annule pas sur\(\mathbb{R}\)
On considère la fonction
\phi
, définie sur
par :
.
a.Calculer
\phi^{\prime}(x)
.
b.Calculer
\phi(0)
et en déduire que, pour tout
x
réel,
.
c.Conclure quant au fait que
ne s'annule pas sur
.
2.Une relation fonctionnelle
Soit
un réel. Soit
la fonction définie sur
par :
. a.Justifier que la fonction
est dérivable sur
et calculer sa dérivée. b.Calculer
. c.En déduire que
. d.Conclure que, pour tous réels
et
,
.
Cette relation, appelée relation fonctionnelle, peut se verbaliser ainsi :
"La fonction exponentielle transforme une somme en un produit".
3.Exponentielle de l'opposé et d'une différence
a.Soit
réel. Rappeler la valeur de
et en déduire la valeur de
en fonction de
. b.Soit
et
deux réels. Que vaut
? c. Soit
réel. Exprimer
en fonction de
, puis
en fonction de
puis
en fonction de
. Conjecturer une propriété permettant de calculer
pour tout
entier naturel.