S'entraîner

* Étude de variations de fonctions

Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction

f

 après avoir déterminé
l'expression de sa dérivée.

1.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\sqrt{2x^2+x+5}

.

2.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(5x-2)\text{e}^{-2x+1}

.

3.

f

 est définie sur

]0\ ;\ +\infty[

par

f(x)=x\text{e}^{\frac{1}{x}}

.

* Courbes tangentes

On considère les fonctions

f

et

g

 définies sur

\mathbb{R}

par\(f(x)=1+\sqrt{3x^2-2x+3}\) et

g(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x+\displaystyle\frac{3}{2}

. On donne ci-dessous la représentation graphique de ces fonctions.

1.Associer à chaque fonction sa courbe représentative.

2. a.On s'intéresse au point de coordonnées`(1\ ;\ 3)`. Que peut-on conjecturer sur ce point ?b.Démontrer la conjecture précédente.

** Étudier une composée

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction

u

 définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

1. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

f=\text{e}^u

.b.Préciser les variations de la fonction

f

 sur son ensemble de définition.

2. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

g=\displaystyle\frac{1}{u}

.b.Préciser les variations de la fonction

g

 sur son ensemble de définition.

3. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

h=\sqrt{u}

.b.Préciser les variations de la fonction

h

 sur son ensemble de définition.

** Extremum d'une fonction

Montrer que la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+7x-4\right)^3

 admet un maximum sur

\mathbb{R}

 que l'on précisera.

** Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa courbe représentative

On considère la fonction 

f

définie sur l’intervalle 

[0\ ;+\infty[

par

f(x)=(ax+b)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}

où

a

et

b

désignent deux nombres réels.
On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle 

[0\ ;+\infty[

et on note 

f'

sa fonction dérivée.

\mathscr{C}_f

, la courbe représentative de\(f\), est tracée ci-dessous.

\mathscr{C}_f

passe par le point de coordonnées

(0\ ; -2)

 et admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d’abscisse

\displaystyle\frac{14}{3}

.
1.Donner les valeurs de 

f(0)

et

f'\left(\displaystyle\frac{14}{3}\right)

.
2. Démontrer que, pour tout réel positif

x,\ f'(x)=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}ax-\displaystyle\frac{1}{4}b+a\right)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}

.
3.Déterminer les valeurs de 

a

et

b

.

** Expression d'une dérivée n-ième (1)

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(x+1)\text{e}^x

.

1.Calculer

f'(x),\ f''(x)

et

f^{(3)}(x)

.

2. a.Conjecturer l'expression de

f^{(n)}(x)

 pour

n

 entier naturel non nul.
    b.Démontrer la conjecture précédente.

*** Variations et tangente avec contrainte

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{x^2-5x}

. On note

\mathscr{C}_f

 sa courbe représentative.

1.Étudier les variations de

f

sur

\mathbb{R}

.

2. a.Soit

a \in \mathbb{R}

. Déterminer une équation de la tangente

T_a

à

\mathscr{C}_f

 au point d'abscisse

a

.
    b.Existe-t-il une (ou des) tangente(s) à

\mathscr{C}_f

 passant par le point

A(4\ ;\ 0)

 ? Si oui, préciser combien.

*** Étude d'une suite de fonctions

Pour tout entier naturel

n

 non nul, on considère la fonction

f_n

 définie sur

\mathbb{R}

par

f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}

.

1. a.Montrer que, pour tout réel

x,\ f_n'(x)=(1-nx)\text{e}^{-nx+1}

.b.En déduire les variations de la fonction 

f_n

sur

\mathbb{R}

.

2.On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions

f_1,\ f_2,\cdots,\ f_{10}

. Pour chaque courbe, le point indiqué en rouge est le point dont l'ordonnée est le maximum de la fonction sur

\mathbb{R}

.

Les pointsindiqués en rougesont-ils alignés ? Justifier.

*** Expression d'une dérivée n-ième (2)

Soit \(n\)un entier naturel non nul.
On note

f^{(n)}

 la dérivée

n

-ième d'une fonction

f

.

1.Soit

f

 la fonction définie sur

\mathbb R^*

par

f(x)=\dfrac{1}{x}

.a.Déterminer

f',f'',f^{(3)}

.b.Démontrer que, pour tout entier naturelnon nul

n

, pour tout

x\in\mathbb R^*

,on a 

f^{(n)}(x)=\dfrac {(-1)^nn!}{x^{n+1}}

.

2.Soit

f

 la fonction définie sur

]1;+\infty[

par

f(x)=\dfrac{2}{1-x^2}

.
Démontrer que, pour tout

x\in]1;+\infty[

,\(f^{(n)}(x)=\dfrac {n!}{(1-x)^{n+1}}+\dfrac {(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}\).

* Convexité de f à partir de la courbe de f'

Exercice 1

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée

f'

 d'une fonction

f

 définie sur

[-5\ ;\ 6]

.

1.Étudier les variations de

f

sur

\mathbb{R}

.

2.Étudier la convexité de

f

sur

\mathbb{R}

.

3.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

Exercice 2

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée

f'

 d'une fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

.

1.Étudier les variations de

f

sur

\mathbb{R}

.

2.Étudier la convexité de

f

sur

\mathbb{R}

.

3.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

* Convexité de f à partir de la courbe de f''

Exercice 1

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée seconde

f''

 d'une fonction

f

 définie et deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Étudier la convexité de

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

Exercice 2

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée seconde

f''

 d'une fonction

f

 définie et deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Étudier la convexité de

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

* Exploiter un graphique

Dans le repère ci-dessous, trois courbes

\mathscr{C}_1

,

\mathscr{C}_2

et

\mathscr{C}_3

sont représentées. L’une d'elles représente une fonction

f

 définie et dérivable sur

\mathbb{R}

, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

1.Associer à chaque courbe sa fonction.

2.Étudier la convexité de

f

sur

\mathbb{R}

.

* Inégalité de convexité

Exercice 1

On considère une fonction

f

 définie sur un intervalle \(I\)et convexe sur

I

. On note

\mathscr{C}_f

 sa courbe représentative.
Soit

a

et

b

 deux réels de l'intervalle

I

. On considère les points

\text A

et

\text B

de

\mathscr{C}_f

 d'abscisse respective

a

et

b

.

1.Calculer les coordonnées du point

\text C

 milieu de

[AB]

.

2.En déduire que

f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}f(a)+\displaystyle\frac{1}{2}f(b)

.

Exercice 2

En utilisant l'inégalitéprécédente, montrer que, pour tous réels

x

et

y

, on a

\text{e}^{x+y} \leqslant \displaystyle\frac{1}{4}\left(\text{e}^x+\text{e}^y\right)^2

.

** Représenter une fonction connaissant sa dérivée

On donne ci-dessous le tableau de variations de la dérivée

f'

 d'une fonction

f

 définie et dérivable sur

[-1\ ; \ 8]

.

1.Étudier les variations de

f

 sur l'intervalle 

[-1\ ; \ 8]

.

2. a.Étudier la convexité de la fonction

f

sur

[-1\ ; \ 8]

.b.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle un ou des points d'inflexion ?

3.On sait, de plus, que

f(-1)=-2

,

f(2)=1

,

f(5)=6

et

f(8)=2

. Tracer une courbe représentative possibledela fonction

f

.

** Quand il vaut mieux vérifier ses conjectures

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

 dans un repère.

1.Conjecturer la convexité de

f

 sur l'intervalle

[-1\ ;\ 1]

.

2.On donne, pour tout réel

x

,

f(x)=4x^4-6x^3+3x^2+6x+1

.a.Étudier algébriquement la convexité de

f

sur

[-1 \ ;\ 1]

.    b. Conclurequant à la conjectureétablie à la question1.

** Inégalité de Bernoulli - Le retour

Pour tout entier naturel

n\geqslant 2

, on considère la fonction

f_n

définie sur `[-1\ ;+\infty[` par

f_n(x)=(1+x)^n

.

1. a.Pour tout réel

x \geqslant -1

,calculer

f_n'(x)

 puis

f_n''(x)

.
    b.Étudier la convexité de

f_n

sur `[-1\ ;\+\infty[` .

2.Déterminer l'équationréduitede la tangente à la courbe représentative de la fonction

f_n

 au point d'abscisse

0

.

3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\)supérieur ou égal à \(2\)et pour tout réel \(x\)

supérieur ou égal à

-1

, on a

\ (1+x)^n \geqslant 1+nx

.

** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{-3x+6}+3x-7

. Le but de cet exercice est d'étudier le signe de la fonction

f

 de deux façons différentes.

1.Première méthode : étude de la fonction

f

a.Étudier les variations de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

.b.Déterminer la valeur exacte du minimumde\(f\) sur

\mathbb{R}

.c.Conclure quant au signe de

f(x)

sur

\mathbb{R}

.

2. Seconde méthode : utilisation de la convexité
On considère la fonction

g

 définie sur

\mathbb{R}

par

g(x)=\text{e}^{-3x+6}

.a.Étudier la convexité de

g

.b.Détermineruneéquation de la tangente à la courbe représentative de la fonction

g

 au point d'abscisse

2

.c.Conclure quant au signe de

f(x)

sur

\mathbb{R}

.

** Coût marginal et coût moyen

Un artisan fabrique

x

 litres de parfum, avec

x\in[0\ ;\ 100]

.

Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par la fonction

C

, définie sur

[0\ ;\ 100]

par

C(x)=\dfrac{1}{72}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+160x+1536

.

On appelle coût marginal le coût additionnel induit par la fabrication d'une unité supplémentaire, c'est-à-dire ici par la fabrication d'un litre de parfum. On le note

C_m(x)

 et on a donc 

C_m(x)=C(x+1)-C(x)

.

1.Pour tout réel

x\in[0\ ;\ 100]

, calculer

C'(x).

2. a.Déterminer

C_m(x)

 pour tout réel

x\in[0\ ;\ 100]

.b.Calculer

C_m(50)

 et comparer avec

C'(50).

En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total. On aura donc, pour tout réel

x\in[0\ ;\ 100]

,

C_m(x)=C'(x)

.

3. a.Déterminer le plus grand intervalle de la forme

[0\ ;\ a]

 inclus dans

[0\ ;\ 100]

 sur lequel la fonction

C

 est concave.b.Que peut-on dire du point

\text A(a\ ;\ C(a))

 pour la courbe représentative de la fonction

C

 ? Interpréter.

4.Le coût moyen de fabrication d'un litre de parfum, quand on produit

x

 litres, est modélisé par la fonction

C_M

 définie pour tout réel 

x

 dans l'intervalle

]0\ ;\ 100]

par

C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}

.a.Démontrer que, pour tout réel 

x

 dans l'intervalle

]0\ ;\ 100]

,

C_M'(x)=\dfrac{(x-96)\left(x^2+6x+576\right) }{36x^2}

.b.En déduire le tableau de variations de la fonction

C_M

 et la quantité de parfum à produire pour obtenir un coût moyen de production minimal.c.Calculer 

C_M(96)

et

C_m(96)

. Que remarque-t-on ?

*** Faisabilité d'un projet routier

Soit

f

 la fonction définie sur

[0 \ ;\ 8]

par

f(x)=\displaystyle\frac{0,7}{1+\text{e}^{-x+2}}+0,3

.

1.Étudier les variations de la fonction

f

sur

[0 \ ;\ 8]

.

2. a.Montrer que, pour tour réel

x \in [0 \ ; \ 8], \ f''(x)=\displaystyle\frac{0,7\text{e}^{-x+2}\left(\text{e}^{-x+2}-1\right)}{\left(\text{e}^{-x+2}+1\right)^3}

.b.Étudier la convexité de

f

sur

[0 \ ;\ 8]

.

3.Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes.
La fonction

f

 définie ci-dessous modélise le profilde la route.
La variable 

x

représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et

f(x)

 représente l’altitude associée, en kilomètres.
La représentation graphique 

\mathscr{C}_f

de la fonction 

f

est donnée ci-dessous.

a.Déterminer l'écart d'altitude entre les villages A et B, arrondi au mètre.b.Dans cette question, le coefficient directeur de la tangente à

\mathscr{C}_f

 en un point M est appelé « pente en M ». On précise aussi qu’une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de 

f

en M égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de

\mathscr{C}_f

la pente ne dépasse 18 %. Déterminer si le projet sera accepté ou refusé.

*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées

On considère la fonction

f

 définie sur

[0\ ; +\infty[

par

f (x) = x \text{e}^{ -x}

. On note 

\mathscr{C}_f

sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que 

f

est deux fois dérivable sur

[0 \ ; +\infty[

.

1.Démontrer que

\mathscr{C}_f

admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.

2.Étudier les variations de

f

sur

[0\ ; +\infty[

.

3.Dresser le tableau complet des variations de

f

sur

[0\ ; +\infty[

.

4.Étudier la convexité de la fonction 

f

sur

[0\ ; +\infty[

.

5.Soit 

a

un réel appartenant à 

[0 \ ; +\infty[

et

\text{A}

le point de la courbe

\mathscr{C}_f

 d’abscisse

a

. On note 

T_a

la tangente à

\mathscr{C}_f

en

\text{A}

et

\text{H}_a

le point d’intersection de la droite

T_a

et de l’axe des ordonnées.
On note 

g (a)

l’ordonnée de 

\text{H}_a

. La situation est représentée sur la figure ci-dessous.

    a.Déterminer l'équation réduite de la tangente

T_a

.
    b.En déduire l’expression de

g (a)

.
    c.Démontrer que

g (a)

est maximum lorsque 

\text{A}

est un point d’inflexion de la courbe

\mathscr{C}_f

Dérivation : compléments

* Étude de variations de fonctions

* Courbes tangentes

** Étudier une composée

** Extremum d'une fonction

** Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa courbe représentative

** Expression d'une dérivée n-ième (1)

*** Variations et tangente avec contrainte

*** Étude d'une suite de fonctions

*** Expression d'une dérivée n-ième (2)

Convexité

* Convexité de f à partir de la courbe de f'

* Convexité de f à partir de la courbe de f''

* Exploiter un graphique

* Inégalité de convexité

** Représenter une fonction connaissant sa dérivée

** Quand il vaut mieux vérifier ses conjectures

** Inégalité de Bernoulli - Le retour

** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction

** Coût marginal et coût moyen

*** Faisabilité d'un projet routier

*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées