S'entraîner

* Taux de chlore dans une piscine

Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de

600\ 000

litres d'eau. Afin de respecter les normes d'hygiène et de sécurité,

30\ 000

litres d'eau de la piscine sont renouvelés chaque heure. Le taux de chlore maximum autorisé est de

0,\!25

mg/L.

Un soir à

20

 h, à la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est négligeable,

1

kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin.
Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public.

On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction

f

. Lorsque 

t

désigne le temps,exprimé en heures, écoulé depuisla fermeture de la piscine, 

f(t)

 représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre.
On admet que la fonction

f

 est solutionsur  

[0~;+ \infty[

de l'équation différentielle

(E)

:

y'+0,\!05y=0

où

y

désigne une fonction de la variable

t

.

1. a.Résoudre l'équation différentielle

(E)

.b.Que vaut

f(0)

 ? En déduire une expression de

f(t)

sur

[0~;+ \infty[

.

2.On admet que 

f

est définie sur

[0~;+ \infty[

par

f(t) = \dfrac{5}{3} \times \text{e}^{- 0,05t}

. À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?

* Refroidissement d'un plat

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à

100

°C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher, afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à

20

°C.
Théo luirépondque, quand il sera à

37

°C, il pourra le toucher sans risque. Sa grand-mère lui  précise qu'il lui faudra attendre

30

minutes pour cela.

La température du plat est donnée par une fonction

g

du temps

t

, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle 

(E)

y' + 0{,}04y = 0{,}8

.

1.Résoudresur \([0~;+\infty[\) l'équation différentielle

(E)

et donner sa solution particulière

g

telle que  

g(0) = 100

.

2.En utilisant l'expression de

g(t)

trouvée, répondre aux questions suivantes.
    a.La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre

37

°C ?b.Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.

** Fibre optique, puissance d'un signal

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à\(10^{-2}\)près.

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et qui sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.

La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note

P_E

et

P_S

les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. 
Pour une fibre de longueur

L

exprimée en kilomètres (km), la relation liant

P_E

,

P_S

et

L

est donnée par 

P_S = P_E \times \text{e}^{- aL}

, où

a

est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.

Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.

Dans tout l'exercice :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la puissance du signal à l'entrée de la fibre est

7

mW ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins

0,\!08

mW ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à

0,\!08

mW.

Partie A

Le premier type de fibre de longueur

100

km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire

a = 0{,}046

.
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction

g

de la variable

x

, où 

x

est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction

g

est définie et dérivable sur l'intervalle 

[0~;+\infty[

et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle

y' + 0,\!035 y = 0

.

1.Résoudre l'équation différentielle

y' + 0,\!035 y = 0

.

2. a. Sachant que

g(0) = 7

, vérifier que la fonction 

g

est définie sur l'intervalle

[0~;+\infty[

par

g(x) = 7\text{e}^{-0,035x}

.b.En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.

3. a. Étudier le sens de variation de la fonction

g

.b.Déterminer la limite de la fonction

g

en

+ \infty

.

4. a.Le signal sera-t-il encore détecté au bout de

100

km de propagation ?b.Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

** Congélation d'aliments

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps

t

est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des aliments dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant

t = 0

, les aliments, à une température de

5

°C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les aliments aient une température inférieure ou égale à

-24

°C.

Partie A

La température des aliments dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps

t

par la fonction

f

définie sur l'intervalle

[0~;+\infty[

par

f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30

.

1.Déterminer la température atteinte par les aliments au bout de

30

minutes.

2.Étudier le sens de variation de la fonction

f

.

3.Si les aliments sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température de ces aliments sera-t-elle conforme au cahier des charges ?

4.Résoudre par le calcul l'équation

f(t)=-24

et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des aliments dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction

g

définie et dérivable sur l'intervalle

[0~;+\infty[

, qui est solution de l'équation différentielle

y'+1,\!5y=-52,\!5

.

1.Résoudre l'équation différentielle

y'+1,\!5y=-52,\!5

.

2. a.Justifier que

g(0) = 5

.b.Vérifier que la fonction

g

est définie par

g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35

.

3.Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appeléalcoolémie et est mesuré en grammes par litre (g/L).
Une personne donnée absorbede l'alcool à\(12\)h. Son alcoolémie, en fonction du temps exprimé en heures, est modélisée par une fonction

f

 de la variable

t

, solution de l'équation différentielle

(E) : y' + y = 2,\!5\text e^{- t}

.À l'instant\(t=0\), le taux d'alcool de la personne est nul.

1.Vérifier que la fonction définie sur

[0~;+\infty[

par

f(t) = 2,\!5t\text e^{- t}

 est solution du problème.

2. a.Déterminer la limite de

f

en

+\infty

.b.Étudier les variations de

f

sur

[0~;+\infty[

 et dresser le tableau de variations de

f

sur

[0~;+\infty[

.

3.a.Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?b. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de

0{,}5

g/L.
La personne finit son déjeuner à

13

h. Pourra-t-elle conduire à ce moment-là ?

4. a.Justifier que l'équation

f(t)=0{,}5

admet une unique solution sur 

[1~;+\infty[

.b.À partir de quelle heure, à la minute près, la personne pourra-t-elle reprendre le volant ?

*** Équation différentielle y' = ay + f (1)

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb R

par

f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}

.

1. a.Montrer que la fonction dérivée

f'

est telle que

f'(x) = \dfrac{3\text{e}^{2x} - 2}{\text{e}^{2x}}

pour tout réel

x

.b. Résoudre sur \(\mathbb R\)l'équation

f'(x) = 0

. Justifier l'existence d'unminimum de \(f\)sur

\mathbb R

 et en donner la valeur exacte.c.Dresser le tableau de variations de

f

(les limites en

- \infty

et

+ \infty

 sont demandées sans justification).

2.On considère l'équation différentielle

(E)

:

y' + 2y = 6x + 1

où

y

est une fonction de la variable réelle

x

et

y'

sa dérivée.a.Résoudresur \(\mathbb R\)l'équation différentielle

y' + 2y = 0

.b.Démontrer que la fonction

g

définie sur 

\mathbb R

par

g(x) = 3x - 1

est solutionsur \(\mathbb R\)de l'équation

(E)

.   c.Vérifier que la fonction

f

est solutionsur \(\mathbb R\)de

(E)

et que

f(0) = 0

.

*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Partie A - Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle

(E)

:

y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5

, où

y

représente une fonction de la variable

x

, définie et dérivable sur

\mathbb R

.

1. Résoudre sur \(\mathbb R\)l'équation différentielle

(E_{0})

:

y'+ 5y = 0

.

2. Déterminer deux réels

a

et

b

tels que la fonction

u

, définie sur

\mathbb R

par

u(x) = ax^3 + b

, est solution de l'équation différentielle

(E)

.

3. Soit

h

la fonction définie sur

\mathbb R

par

h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1

, où

k

est un nombre réel.a.Vérifier que 

h

est solution sur \(\mathbb R\)de l'équation

(E)

.b.Déterminer le réel 

k

tel

h(0) = - 2

.

Partie B - Étude de la fonction\(f\)

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(x) = - 3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1

.

1. a.Déterminer la limite de

f(x)

lorsque

x

tend vers

- \infty

.b.Déterminer la limite de

f(x)

lorsque

x

tend vers

+ \infty

.

2. a. On désigne par

f'

la fonction dérivée de la fonction

f

. Calculer

f'(x)

pour tout réel

x

.b.En déduire le sens de variation de la fonction 

f

sur

\mathbb R

et dresser son tableau de variations.

3. a. Calculer

f(0)

et

f(1)

.b. Établir que l'équation

f(x) = 0

admet une solution unique

\alpha

dans l'intervalle

[0~;~1]

.c.Donner un encadrement d'amplitude

10^{- 2}

du nombre réel

\alpha

.d.Déterminer, selon les valeurs du réel

x

, le signe de

f(x)

.

S'entraîner

Calculs de primitives

* Déterminer des primitives (1)

* Déterminer des primitives (2)

** Déterminer des primitives (3)

** Déterminer des primitives (4)

*** Déterminer des primitives (5)

Équations différentielles

* Taux de chlore dans une piscine

* Refroidissement d'un plat

** Fibre optique, puissance d'un signal

** Congélation d'aliments

** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral

*** Équation différentielle y' = ay + f (1)

*** Équation différentielle y' = ay + f (2)