Somme de deux vecteurs

Propriété

Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

 deux vecteurs du plan.
La translation de  vecteur

\overrightarrow{u}

suiviede la translation de vecteur

\overrightarrow{v}

est une translation.

Remarque

On dit que l'on enchaîne deux translations.

Exemple

Soit

\color{green}{\overrightarrow{u}}

et

\color{orange}{\overrightarrow{v}}

 deux vecteurs du plan.
On considère une figure

\color{blue}{\text{F}_1}

. La figure

\color{blue}{\text F_1}

 a pour image la figure

\color{red}{\text F_2}

par la translation de vecteur

\color{green}{\overrightarrow{u}}

  et la figure

\color{red}{\text F_2}

a pour image la figure

\color{purple}{\text F_3}

par la translation de  vecteur

\color{orange}{\overrightarrow{v}}

.\(\)

Alors, la figure

\color{blue}{\text F_1}

a pour image la figure

\color{purple}{\text F_3}

par une translation.

Remarque

Lorsque l'on enchaîne plusieurs translations, on obtient également une translation.

Somme de deux vecteurs

Définition

Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

 deux vecteurs du plan.
On considère la translation de vecteur

\overrightarrow{u}

suivie de la translation de vecteur

\overrightarrow{v}

 : c'est une translation d'un vecteur que l'on appelle

\overrightarrow{w}

.
Alors on dit que le vecteur

\overrightarrow{w}

estla sommedes vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

. On note

\boxed{\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} }

.

Remarque

En enchaînant plusieurs translations, on définit la somme de plusieurs vecteurs.

Somme de vecteurs - Propriétés

Propriétés

Soit

\overrightarrow{u}

,

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

 trois vecteurs du plan. On a les propriétés suivantes.

Associativité :\(\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)\).
Élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\).  
Commutativité : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\).

Démonstration

Soit

\overrightarrow{u}

,

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

 trois vecteurs du plan.

Montrons que 

\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)

.
Soit 

\text A

 un point du plan. On construit le point 

\text B

 tel que 

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}

, puis le point 

\text C

 tel que 

\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}

 et enfin le point 

\text D

 tel que 

\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{w}

.
Dans un premier temps, l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}

 est le point 

\text C

 et, puisque l'image du point 

\text C

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{w}

 est le point 

\text D

, alors l'image du point 

\text A

 par la translation de vecteur 

\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w}

 est le point 

\text D

. Dans un second temps,l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u}

 est le point 

\text B

 et, puisquel'image du point 

\text B

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}

 est le point 

\text D

, alors l'image du point 

\text A

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \left( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right)

 est le point 

\text D

.
Ceci étant vrai pour tout point 

\text A

 du plan, on a

\boxed{\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)}

.

Montrons que 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}

.
Soit 

\text A

 un point du plan. On construit le point 

\text B

 tel que 

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}

, puisle point 

\text C

 tel que 

\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}

 .
Ainsi, l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}

 est le point 

\text C

. Or, puisque 

\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}

, les points 

\text B

et

\text C

 sont confondus. Donc l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}

 est le point 

\text B

. Donc on a 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{\text{AB}}

 soit 

\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}}

.

Montrons que 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}

.
Soit 

\text A

 un point du plan. On construit le point 

\text B

 tel que 

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}

, puisle point 

\text C

 tel que 

\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}

 . Ainsi,l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}

 est le point 

\text C

.On construit le point 

\text D

 tel que 

\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{v}

, puisle point 

\text E

 tel que 

\overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}

. Ainsi, l'image du point 

\text{A}

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}

 est le point 

\text E

.
Dans un premier temps, on a 

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}

 donc le quadrilatère 

\text{ABED}

 est un parallélogramme. Donc on a 

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AE}}

 soit 

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{AE}}

.
Dans un second temps, on a 

\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}

 donc le quadrilatère 

\text{ABCD}

 est un parallélogramme. Donc on a 

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AC}}

 soit 

\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{AE}}

.
En remarquant que, d'après ce qui précède, on a 

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AE}}

, on a donc 

\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}}

.

Vecteurs opposés

Définition

Soit

\text A

et

\text B

 deux points du plan. On considère le vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

.
Alors, on dit que le vecteur

\overrightarrow{\text{BA}}

est levecteur opposéau vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

.

Remarque

Un vecteur et son vecteur opposé ont même direction et même norme, mais ils sont de sens contraires.

Notation

Soit

\text A

et

\text B

 deux points du plan. On considère le vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

.
Le vecteur

\overrightarrow{\text{BA}}

se note aussi

-\overrightarrow{\text{AB}}

.

Propriété

Soit

\overrightarrow{u}

un vecteur du plan. On a : 

\overrightarrow{u} + \left(-\overrightarrow{u}\right) = \overrightarrow{0}

.

Démonstration

Soit 

\text A

 un point du plan. On construit le point 

\text B

 tel que 

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}

. Ainsi, on a 

-\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{\text{AB}}

 soit 

-\overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{BA}}

. On en déduit que l'image du point 

\text B

 par la translation de vecteur 

-\overrightarrow{u}

est

\text A

. Donc l'image du point 

\text A

 par la translation de vecteur 

\overrightarrow{u} + \left( -\overrightarrow{u} \right)

 est le point 

\text A

. Autrement dit, on a 

\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{\text{AA}}

 soit 

\boxed{\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{0}}

.

Différence entre deux vecteurs

Définition

Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

deux vecteurs du plan. 
Alors, la différence entre les deux vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et

\overrightarrow{v}

est le vecteur

\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}

 défini par

\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{-v})

.

Exemple

Soit

\color{green}{\overrightarrow{u}}

et

\color{orange}{\overrightarrow{v}}

 deux vecteurs du plan.
On considère une figure

\color{blue}{\text{F}_1}

. La figure

\color{blue}{\text F_1}

a pour image la figure

\color{red}{\text F_2}

par la translation de vecteur

\color{green}{\overrightarrow{u}}

  et la figure

\color{red}{\text F_2}

 a pour image la figure

\color{purple}{\text F_3}

par la translation de vecteur

\color{orange}{-\overrightarrow{v}}

.

Ainsi, lafigure

\color{blue}{\text F_1}

 a pour image la figure

\color{purple}{\text F_3}

par la translation de vecteur

\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}

.

Relation de Chasles

Propriété Relation de Chasles

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

 trois points du plan.
On a l'égalité vectorielle suivante  

\boxed{\overrightarrow{\text{A}\color{blue}{\text{B}}} + \overrightarrow{\color{blue}{\text{B}}\text{C}} = \overrightarrow{\text{AC}}}

.

Remarque

Michel Chasles (1793-1880) est un mathématicien français ayant notamment réalisé de nombreux travaux en géométrie projective.

Démonstration

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

 trois points du plan.
On considère la translation de vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

suivie dela translation de vecteur

\overrightarrow{\text{BC}}

.
C'est latranslation de vecteur\(\overrightarrow{\text{AC}}\).En effet, l'image du point

\text A

par l'enchaînement de ces deux translations est le point

\text C

.
D'autre part, par définition de la somme de deux vecteurs, la translation de vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

suivie de la translation de vecteur

\overrightarrow{\text{BC}}

estla translation de vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\).
On obtient donc

\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}}

.

Exemple

À l'aide de la relation de Chasles, on simplifie les expressions suivantes.

\(\overrightarrow{\text{K}{\color{blue}{\text{S}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{S}}\text{O}}} =\overrightarrow{\text{KO}}\)
\(\overrightarrow{\text{TA}} + \overrightarrow{\text{IT}} =\overrightarrow{\text{I}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{A}}}=\overrightarrow{\text{IA}}\)
\(\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{TH}} + \overrightarrow{\text{AT}} =\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{A}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{A}}\text{T}}} + \overrightarrow{\text{TH}}=\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{H}}} =\overrightarrow{\text{MH}}\)
\(\overrightarrow{\text{PR}} - \overrightarrow{\text{FO}} + \overrightarrow{\text{RO}} = \overrightarrow{\text{PR}} + \overrightarrow{\text{OF}} + \overrightarrow{\text{RO}} =\overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{R}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{R}}\text{O}}} + \overrightarrow{\text{OF}} = \overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{O}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{O}}\text{F}}} = \overrightarrow{\text{PF}}\)

Remarque

Soit

\text A

et

\text B

deux points du plan.
On a

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{AA}} = \overrightarrow{0}

.

☛ Somme de vecteurs et parallélogramme : une propriété pas à pas

Propriété

Soit

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

 quatre points du plan.
Alors

\text{ABDC}

 est un parallélogramme si et seulement si

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}

.

Énoncé

Le but de cet exercice est de démontrer la propriété ci-dessus.

1.Démonstration du sens direct : supposons que

\text{ABDC}

est un parallélogramme.a.Déterminer un vecteur égal au vecteur

\overrightarrow{\text{AC}}

.b.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur

\overrightarrow{\text{AD}}

puis conclure.

2.Démonstration du sens réciproque : supposons que 

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}

.a. À l'aide de la relation de Chasles, montrer que 

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}

.b.Conclure.

Solution

1.Soit 

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

 quatre points du plan tels que

\text{ABDC}

est un parallélogramme.a.Puisque 

\text{ABDC}

 est un parallélogramme, on a

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}

.b.D'après la relation de Chasles, on a

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}

. Or,

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}

. Donc

\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}}

2. Soit

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

 quatre points du plan tels que

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}

.a.D'après la relation de Chasles, on a

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}

. Donc on a

\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}}

.
         Ainsi, on obtient

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}

.b.Puisque

\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}

, on peut conclure que le quadrilatère

\text{ABDC}

 est un parallélogramme.

Enchaînement de deux translations

Somme de deux vecteurs

Somme de vecteurs - Propriétés

Vecteurs opposés

Différence entre deux vecteurs

Relation de Chasles

☛ Somme de vecteurs et parallélogramme : une propriété pas à pas