Définition
Soit `(u_n)`une suite et
un réel.
On dit que
(u_n)
tend vers
quand
n
tend vers
, et on écrit
,
si tout intervalle de la forme
[A;+\infty[
contient toutes les valeurs de
u_n
à partir d'un certain rang.
Traduction à l'aide de quantificateurs:
Exemples
1.
2.
et plus généralement, pour tout
,
3.
4.
Définition
Soit `(u_n)`une suite et\(A\)un réel.
On dit que
(u_n)
tend vers
quand
n
tend vers
, et on écrit
,
si tout intervalle de la forme
]-\infty;A]
contient toutes les valeurs de
u_n
à partir d'un certain rang.
Traduction à l'aide de quantificateurs:
Exemples
1.
2.
et plus généralement, pour tout
,
3.
4.
Cas des suites monotones
Théorème
1.Toute suite croissante et non majorée tend vers
.
2.Toute suite décroissante et non minorée tend vers
.
Démonstration
1.Soit
une suite croissante et non majorée. Soit
.
n'est pas un majorant, donc il existe
tel que
.
Comme
(u_n)
est croissante, pour tout entier naturel
, on a
.
Ainsi, pour tout entier naturel
, on a
.
L'intervalle
contient bien tous les
u_n
à partir d'un certain rang donc
2.La démonstration s'effectue de façon analogue.