Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent par ajout d’une constante.
Définition
Soit
u_0
un réel.
Une suite
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
est unesuite arithmétiques'il existe un réel
r
tel que, pour tout entier naturel
n
, \(\boxed{u_{n+1}=u_n+r}\).
Dans ce cas,
u_0
s'appelle le premier termede la suite arithmétique et
r
laraison.
Exemples
• La suite des nombres entiers pairs est une suite arithmétique de premier terme
0
et de raison
2
.
• La suite arithmétique
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
de raison
r=3
et de premier terme
u_0=4
vérifie la relation de récurrence
u_{n+1}=u_n+3
.On a alors :
u_1=\color{red}{u_0}+3=\color{red}{4}+3=7
,
u_2=\color{red}{u_1}+3=7+3=10
, etc.
• La suite
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
définie par
\begin{cases} v_0 = -4 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n-\frac{1}{3} \end{cases}
est une suite arithmétique de premier terme
v_0=-4
et de raison
r=-1/3
.
Expression du terme général d'une suite arithmétique
Propriété
Soit
u_0
et
r
deux réels.
La suite
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite arithmétique de premier terme
u_0
et de raison
r
si et seulement si, pour tout entier naturel
n
, \(\boxed{u_n=u_0+nr}\).
Remarque
Cette propriété permet également de calculer le terme de rang
n
d'une suite arithmétique à partir d'un terme autre que
u_0
.
En effet, si
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
est une suite arithmétique de premier terme
u_0
et de raison
r
, alors, pour tout entier naturel
p<=n
:
u_n=u_0+nr=u_1+(n-1)r=u_2+(n-2)r=...=u_p+(n-p)r
.
Démonstration
Sens direct
On suppose que
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite arithmétique de premier terme
u_0
et de raison
r
. Observons d'abord que, étant donné
n
naturel supérieur ou égal à 2,
u_n=\color{red}{u_(n-1)}+r \ \text{mais} \ \color{red}{u_(n-1)=u_(n-2)+r} \ \text{donc} \ u_n=\color{red}{(u_(n-2)+r)}+r=u_(n-2)+r+r
de même,si \(n\)est supérieur ou égal à 3,
\color{green}{u_(n-2)=u_(n-3)+r
donc
u_n=\color{green}{u_(n-2)}+2r=\color{green}{u_(n-3)+r}+r+r=u_(n-3)+r+r+r=u_(n-3)+3r
et, en poursuivant ce raisonnement jusqu'à attendre le terme `u_0`dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à :
u_n=u_1+(n-1)r=u_0+r+(n-1)r=u_0+nr
.
Sens réciproque
Réciproquement, si
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite telle que, pour tout
n
entier naturel,
u_n=u_0+nr
alors :
.
La suite
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
est bien une suite arithmétique de premier terme
u_0
et de raison
r
.
Calculs des termes d'une suite arithmétique - Exemples
Exemple 1
Soit
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
la suite arithmétique de premier terme
u_0=-3
et de raison
r=2
.
Alors le terme général de la suite
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
est :
u_n=u_0+nr=-3+2n
.
On peut alors calculer, par exemple, le terme de rang
51
:
u_\color{red}{51}=-3+2\times\color{red}{51}=-3+102=99
.
Exemple 2
Soit
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
la suite telle que, pour tout entier naturel
n
,
v_n=1/3n+5
alors
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
est une suite arithmétique. On peut identifier ses caractéristiques, son premier terme est
v_0=5
et sa raison est
r=1/3
.
Exemple 3
Soit
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
une suite arithmétique avec
w_6=3
et
r=-1
. Calculons
w_11
.
On rappelle que, pour tout
n \ \text{et} \ p
entiers naturels tels que
,
w_\color{red}{n}=w_\color{green}{p}+(\color{red}{n}-\color{green}{p})\times r
.
Donc
w_\color{red}{11}=w_\color{green}{6}+(\color{red}{11}-\color{green}{6})\times (-1)=3-5=-2
.
De plus,
w_\color{red}{0}=w_\color{green}{6}+(\color{red}{0}-\color{green}{6})\times (-1)=3+6=9
. On en déduit que,pour tout
n
entier naturel,
w_n=w_0+nr=9-n
.
On veut savoir s'il existe un terme de la suite égal à
-200
.
On résout alors l'équation :
w_n=-200\Leftrightarrow 9-n=-200 \Leftrightarrow n=9+200=209
.
Il existe bien un terme égal à
-200
, il s'agit de
w_209
.
✎ Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique
Méthode
Pour déterminer la raison
r
et le premier terme
u_0
d'une suite arithmétique
u
connaissant deux termes de cette suite, on utilise la relation suivante :
pour tout
n \ \text{et} \ p
entiers naturels, tels que
,
u_\color{red}{n}=u_\color{green}{p}+(\color{red}{n}-\color{green}{p})\times r
.
Exemple 1
Soit
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
la suite arithmétique telle que
u_18=60
et
u_35=111
.
On appelle
u_0
et
r
respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part,
u_\color{red}{35}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{35}-\color{green}{18})\times r\Leftrightarrow 111=60+17r\Leftrightarrow17r=51\Leftrightarrow r=51/17=3
.
D'autre part, comme
r=3
et
u_18=60
, on a :
u_\color{red}{0}=u_\color{green}{18}+(\color{red}{0}-\color{green}{18})\times r \Leftrightarrow u_0=60-18\times3=6
. On a donc, pour tout
n
entier naturel,
u_n=u_0+nr=6+3n
.
Exemple 2
Soit
(u_n)_(n\in\mathbb{N})
la suite arithmétique telle que
u_12=7
et
u_99=65
.
On appelle
u_0
et
r
respectivement son premier terme et sa raison.
D'une part,
u_\color{red}{99}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{99}-\color{green}{12})\times r\Leftrightarrow 65=7+87r\Leftrightarrow87r=58\Leftrightarrow r=58/87=2/3
.
D'autre part, comme
r=2/3
et
u_12=7
, on a :
u_\color{red}{0}=u_\color{green}{12}+(\color{red}{0}-\color{green}{12})\times r \Leftrightarrow u_0=7-12\times2/3=-1
.
On a donc, pour tout
n
entier naturel,
u_n=u_0+nr=-1+2/3n
.