Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en le multipliant par une constante.
Définition
Soit
v_0
un réel.
Une suite
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
est unesuite géométrique s'il existe un réel
q
tel que, pour tout entier naturel
n
, \(\boxed{v_{n+1}=v_n\times q}\).
Dans ce cas,
v_0
s'appelle lepremier termede la suite géométrique et
q
laraison.
Exemples
• La suite géométrique
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
de raison
q=3
et de premier terme
v_0=4
vérifie la relation de récurrence
v_{n+1}=v_n\times3
.On a alors :
v_1=\color{red}{v_0}\times3=\color{red}{4}\times3=12
,
v_2=\color{red}{v_1}\times3=\color{red}12\times3=36
, etc.
• La suite
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
définie par
\begin{cases} v_0 =-1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n\times\frac{1}{3} \end{cases}
est une suite géométrique de premier terme
v_0=-4
et de raison
q=1/3
.
• En considérant que le prix de l'essence augmente de façon constante de
4%
par an et qu'au
janvier 2002, un litre coûtait
1,10
€, on peut modéliser le prix en euros d'un litre d'essence le
janvier de l'année 2002
+n
à l'aide de la suite géométrique
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
telle que
w_0=1,10
et
q=1+4/100=1,04
.
Expression du terme général d'une suite géométrique
Propriété
Soit
v_0
et
q
deux réels.
La suite
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite géométrique de premier terme
v_0
et de raison
q
si et seulement si, pour tout entier naturel
n
, \(\boxed{v_n=v_0\times q^n}\).
Remarque
Cette propriété permet également de calculer le terme de rang
n
d'une suite géométrique à partir d'un autre terme que
v_0
. En effet, si
(v_n)_(n\in\mathbb{N})
est une suite géométrique de premier terme
v_0
et de raison
q
, alors pour tout entier naturel
n
, alors, pour tout entier naturel
p<=n
:
v_n=v_0\q^n=v_1\timesq^(n-1)=v_2\times q^(n-2)=...=v_p\timesq^(n-p)
.
Démonstration
Sens direct
On suppose que
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite géométrique de premier terme
v_0
et de raison
q
.
Observons d'abord que, étant donné
n
naturel supérieur ou égal à
2
,
v_n=\color{red}{v_(n-1)}\timesq \ \text{mais} \ \color{red}{v_(n-1)=v_(n-2)\timesq} \ \text{donc} \ v_n=\color{red}{(v_(n-2)\timesq)}\timesq=v_(n-2)\timesq^2
.
De même,si`n` est supérieur ou égal à
3
,
\color{green}{v_(n-2)=v_(n-3)\timesq
donc
v_n=\color{green}{v_(n-2)}\timesq^2=\color{green}{v_(n-3)\timesq}\timesq^2=v_(n-3)\timesq^3
et en poursuivant ce raisonnement jusqu'à atteindre le terme de rang `0` dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à :
v_n=v_1\timesq^(n-1)=v_0\timesq\timesq^(n-1)=v_0\timesq^n
.
Sens réciproque
Réciproquement, si
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
est une suite telle que, pour tout
n
entier naturel,
v_n=v_0\timesq^n
alors :
.
La suite
(v_n)_(n\in\mathbb(N))
est bien une suite géométrique de premier terme
u_0
et de raison
q
.
Calculs des termes d'une suite géométrique - Exemples
Exemple 1
Soit
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
la suite géométrique de premier terme
v_0=-1
et de raison
q=2
.
Alors le terme général de la suite
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
est :
v_n=v_0\timesq^n=-1\times2^n=-2^n
.
On peut alors calculer, par exemple, le terme de rang
8
:
v_\color{red}{8}=-2^\color{red}{8}=-256
.
Exemple 2
Soit
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
la suite telle que, pour tout entier naturel
n
,
v_n=5/3^(n+1)
alors
(v_n)_{n\in\mathbb(N)}
est une suite géométrique. En effet, en réécrivant son terme général sous la forme
v_n=5/3^(n+1)=5/3\times1/3^n=5/3\times(1/3)^n
, on peut identifier ses caractéristiques, son premier terme est
v_0=5/3
et sa raison est
q=1/3
.
Exemple 3
En considérant que le prix de l'essence augmente de façon constante de
4%
par an et qu'au
1^{\text{er}}
janvier 2002, un litre coûtait
1,10
€, on peut modéliser le prix en euros d'un litre d'essence le
1^{\text{er}}
janvier 2002
+n
à l'aide de la suite géométrique
(w_n)_{n\in\mathbb(N)}
telle que
w_0=1,1
et
q=1+4/100=1,04
.
On a alors, pour tout entier naturel
n
,
w_n=w_0\timesq^n=1,1\times1,04^n
.
Ainsi le prix théorique d'un litre d'essence le
1^{\text{er}}
janvier 2024 si cette augmentation se poursuit correspond à
w_22
, soit
w_22=1,1\times1,04^22\approx2,61
€.
✎ Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Méthode
Pour démontrer qu'une suite
(v_n)
est une suite géométrique, on peut :
• montrer qu'il existe un réel
q
tel que, pour tout entier naturel
n
,
v_{n+1}=v_n\timesq
;
• montrer qu'il existe
v_0
et
q
des réels tels que le terme général s'écrive sous la forme
v_n=v_0\timesq^n
;
• si
v_n\ne0
pour tout
n\in\mathbb(N)
, montrer qu'il existe un réel
q
tel que, pour tout entier naturel
n
,
v_{n+1}/v_n=q
.
Exemple 1
On considère les suites
(u_n)
et
(v_n)
définies pour tout entier naturel
n
, par
u_0=-1
,
u_{n+1}=3u_n-4
et
v_n=u_n-2
.
La suite
(u_n)
n'est pas une suite géométrique. En effet,
u_0=-1 ; u_1=3\u_0-4=3\times(-1)-4=-7 \text{ et } u_2=3u_1-4=3\times(-7)-4=-25.
Ainsi,
u_1/u_0=(-7)/(-1)=7
et
u_2/u_1=(-25)/(-7)=25/7.
Comme les rapports
u_1/u_0
et
u_2/u_1
ne sont pas égaux, la suite
(u_n)
ne peut pas être une suite géométrique.
En revanche, la suite
(v_n)
est une suite géométrique de raison
3
.
Pour tout entier naturel
n
, on a :
v_{n+1}=\color{blue}{u_{n+1}}-2=\color{blue}{3u_n-4}-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n
.
De plus,
v_0=u_0-2=-1-2=-3
.
On a alors, pourtout entier naturel
n
,
v_n=v_0q^n=-3\times3^n =-3^(n+1)
.
On en déduit que, pour tout entier naturel
n
,
u_n=-3^(n+1)+2
.
Exemple 2
Soit
u
une suite définie pour tout
n
entier naturel par :
u_n=2^n/3^(2n)
.
En réécrivant
u_n
sous la forme :
u_n=\frac{2^n}{(3^2 )^n}= 2^n/9^n= (2/9)^n
, on reconnaît le terme général d'une suite géométrique de premier terme
u_0=1
et de raison
q=2/9
.