Théorème de Pythagore et sa réciproque

Théorème

Soit 

\text{ABC}

 un triangle.
Si 

\text{ABC}

 est un triangle rectangle en 

\color{red}{\text{A}}

,alors

\color{red}{\text{A}}\text{B}^2+\color{red}{\text{A}}\text{C}^2 = \text{BC}^2

.

Exemple

Toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
Soit

\text{ABC}

 un triangle rectangle en 

\text{A}

 tel que 

\text{BC}=8

et

\text{AC}=4

.
On souhaite calculer la longueur 

\text{AB}

.
Par hypothèse, 

\text{ABC}

 est un triangle rectangle en 

\text{A}

, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

\text{AB}^2+\text{AC}^2 = \text{BC}^2

.
On a 

\text{BC}^2=8^2=64

et

\text{AC}^2=4^2=16

.
Donc 

\text{AB}^2+16=64

D'où 

\text{AB}^2=64-16=48

.

\text{AB}

 étant une longueur, on a ainsi 

\text{AB}=\sqrt{48}

.

\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}

.
On a donc 

\text{AB}=4\sqrt{3}

.

☛ Théorème de Pythagore - Application

Énoncé

On considère un triangle

\text{GHI}

 rectangle en

\text{I}

 tel que : 

\text{GI}=7\text{ cm et } \text{GH}=9\text{ cm }

.

Calculer la longueur 

\text{HI}

. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millimètre.

Solution

Par hypothèse, letriangle

\text{GHI}

 est rectangle en

\text{I}

, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

\text{GH}^2=\text{GI}^2+\text{HI}^2

Soit 

9^2=7^2+\text{HI}^2

Ainsi 

\text{HI}^2=9^2-7^2=81-49=32

\text{HI}

 étant une longueur, on a alors :

\text{HI}=\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4\sqrt2

.

Donc : 

\text{HI}=4\sqrt2 \text{ cm }

 (valeur exacte)

\text{HI} \approx 5{,}7 \text{ cm }

(valeur arrondie au millimètre).

Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème

Soit 

\text{ABC}

 un triangle.
Si 

\color{red}{\text{A}}\text{B}^2+\color{red}{\text{A}}\text{C}^2 = \text{BC}^2

,alors

\text{ABC}

 est un triangle rectangle en 

\color{red}{\text{A}}

.

Exemple

Toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
On considère un triangle 

\text{ABC}

 tel que 

\text{AB}=3\sqrt{2}

,

\text{AC} = \sqrt{6}

et

\text{BC}=2\sqrt{3}

.
À l'aide de la calculatrice, on constate que

[\text{AB}]

 est le plus grand des trois côtés du triangle.
On a :
d'une part, 

\text{AB}^2=(3\sqrt{2})^2=9\times 2 = 18

.
d'autre part, 

\text{AC}^2+\text{BC}^2 =(\sqrt{6})^2+(2\sqrt{3})^2=6+4\times 3 = 6+12=18.

On constate que 

\text{AC}^2+\text{BC}^2 =\text{AB}^2

.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 

\text{ABC}

 est rectangle en 

\text{C}

.

☛ Triangle rectangle ou pas ? (1)

Énoncé

On considère un triangle

\text{PAS}

 tel que : 

\text{PA}=6\text{ cm , PS}=7\text{ cm et AS}=9\text{ cm }

.
Ce triangle est-il rectangle ?

Solution

Dans le triangle

\text{PAS}

, le côté le plus long est 

\text{[AS]}

. On a :

d'une part : \(\text{AS}^2=9^2=81\)
d'autre part : \(\text{PA}^2+\text{PS}^2=6^2+7^2=36+49=85\)

On constate que : 

\text{AS}^2 \neq \text{PA}^2+\text{PS}^2

L'égalité de Pythagore n'étant pas vérifiée, le triangle 

\text{PAS}

 n'est pas rectangle (car si le triangle était rectangle, alors l'égalité de Pythagore serait vérifiée).
On peut aussi conclure de la façon suivante : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle 

\text{PAS}

 n'est pas rectangle.

☛ Triangle rectangle ou pas ? (2)

Énoncé

On considère un triangle

\text{PRE}

 tel que : 

\text{PE}=5\text{ cm , PR}=12\text{ cm et ER}=13\text{ cm }

.
Ce triangle est-il rectangle ?

Solution

Dans le triangle

\text{PRE}

, le côté le plus long est 

\text{[ER]}

. On a :

d'une part : \(\text{ER}^2=13^2=169\)
d'autre part : \(\text{PE}^2+\text{PR}^2=5^2+12^2=25+144=169\)

On constate que : 

\text{ER}^2=\text{PE}^2+\text{PR}^2

.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 

\text{PRE}

 est rectangle en 

\text{P}

.

Théorème de Pythagore

☛ Théorème de Pythagore - Application

Réciproque du théorème de Pythagore

☛ Triangle rectangle ou pas ? (1)

☛ Triangle rectangle ou pas ? (2)

Un peu d'initiative