Trois voyageurs
,
et
sont sur le tapis roulant d'un aéroport et une caméra de sécurité en offre une vue de dessus parfaite. On superpose deux photos prises avec cette caméra aux instants
1
et
2
. On peut ainsi observer les "glissements" effectués par les trois voyageurs entre les instants
et
. Par exemple,
symbolise le voyageur
à l'instant
et
le même voyageur à l'instant
. Le "glissement" qui transforme
en
est appelétranslationde vecteur
.
1.Entre les instants
et
, le voyageur
va réaliser la même translation que le voyageur
.
Représenter le voyageur
à l'instant
.
2. Le voyageur
réalise la translation de vecteur
.
Représenter le voyageur
à l'instant
.
Translation
Définition
Soit
et
deux points du plan.
On appelletranslationqui transforme
en
la transformation du plan qui à tout point
associe le point
tel que le quadrilatère
est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Le point
est l'image du point
par latranslation qui transforme
en
.
Exemple
Soit
et
deux points du plan. On considère la translation qui transforme
en
.
On considère une figure
. On trace en rouge la figure
qui est l'image de la figure
par cette translation.
Vecteur
Définition
Soit
et
deux points du plan.
On considère la translation qui transforme
en
. Cette translation est appeléetranslationde vecteur
.
Le point
est l'image du point
par latranslation de vecteur
.
Remarque
Soit
et
deux points du plan.
On considère la translation de vecteur
.
Soit
l'image du point
par la translation de vecteur
.
Commele quadrilatère
est un parallélogramme (éventuellement aplati), les segments
et
ont le même milieu (qu'on appelle
).
Translation particulière : translation de vecteur nul
Remarque
Soit
et
deux points du plan. On considère la translation qui transforme
en
.
On suppose que les points
et
sont confondus. Alors, un point et son image par cette translation sont confondus.
Cette translation est donc la translation de vecteur
.
Définition
Soit
un point du plan. La translation de vecteur
est appeléetranslation de vecteur nul.
On a
.
Caractérisation d'un vecteur : direction, sens et norme
PropriétéCaractérisation d'un vecteur
Soit
et
deux points distincts du plan. Alors le vecteur
est caractérisé par :
- sadirection: celle de la droite\((\text{AB})\) ;
- sonsens: celui de\(\text A\) vers\(\text B\) ;
- sanorme: la longueur\(\text{AB}\).
Remarques
- On note aussi\(||\, \overrightarrow{\text{AB}}\,||\)la norme du vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\).
- Le point\(\text A\) est l'origine du vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\) et le point\(\text B\) son extrémité.
- Le vecteur nul\(\overrightarrow{0}\) n'a ni direction, ni sens et sa norme est\(0\).
Exemple
On considère un rectangle
de centre
représenté ci-dessous.
On note
le milieu du segment
.
1.Les vecteurs
et
ont la même direction et la même norme. Ils n'ont pas le même sens.
2.Les vecteurs
et
ont la même direction et le même sens. Ils n'ont pas la même norme.
3.Les vecteurs
et
ont la même norme. Ils n'ont ni la même direction, ni le même sens.
4.Les vecteurs
et
ont la même direction, le même sens et la même norme.
Vecteurs égaux
Définition
Soit
et
deux points du plan.
On considère la translation de vecteur
.
Soit
l'image d'un point
par la translation de vecteur
.
Alors les vecteurs
et
définissent la même translation.
On dit que les vecteurs
et
sont égauxet on écrit :
.
Exemple 1
Soit
et
deux points du plan. On considère la translation de vecteur
.
On considère une figure
. On trace en rouge la figure
qui est l'image de la figure
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
On a donc :
.
Propriété
Soit
,
,
et
quatre points distincts du plan.
Les vecteurs
et
sontégauxsi et seulement s'ils ont lamême direction, lemême senset lamême norme.
Exemple 2
On considère un rectangle
de centre
représenté ci-dessous.
On note
le milieu du segment
.
- Les vecteurs\(\color{red}{\overrightarrow{\text{AB}}}\) et\(\color{orange}{\overrightarrow{\text{CD}}}\) ont la même direction et la même norme. Ils n'ont pas le même sens. Ils ne sont donc pas égaux.
- Les vecteurs\(\color{green}{\overrightarrow{\text{AD}}}\) et\(\color{green}{\overrightarrow{\text{BC}}}\) ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux.
Milieu d'un segment - Vecteurs égaux
Propriété
Soit
et
deux points distincts du plan.
Le point
est lemilieudu segment
si et seulement si
.
Démonstration
Représentants d'un vecteur
Notation
Un vecteur peut aussi se noter
,
,
, etc.
Définition
On considère une translation de vecteur
.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
Le point
a pour image le point
par cette translation.
On a donc :
.
On dit que les vecteurs
,
et
sont des représentantsd'un même vecteur.
Remarque
Un vecteur possède une infinité de représentants.