Sur GeoGebra, on a construit deux points
et
distincts ainsi que le vecteur
.
Soit
.
On a construit le point
tel que
.
Sur GeoGebra, cliquer sur "Activer la trace du point
". Cela active le curseur
: le point
se déplace dans le plan en laissant une trace derrière lui.
1.Qu'est-ce que semble être la trace laissée par le point
?
2.Sur GeoGebra, cliquer sur"Désactiver la trace du point
" puis ''Effacer la trace".
Déplacer les points
et
.
Cliquer sur "Activer la trace du point
".
Obtient-on le même constat qu'à la question1.?
Introduction - Droite et vecteur directeur
Soit A et B deux points distincts du plan. Soit
un réel.
On considère le point
tel que
.
1.Que peut-on en déduire concernant les vecteurs
et
?
2.Que peut-on en déduire pour les points
,
et
?
3.Où se situe le point
lorsque
?
4.Où se situe le point
lorsque
?
5.Préciser la position du point
par rapport à
et
dans chacun des cas suivants.
- \(k > 1\)
- \(k \in [0;1]\)
- \(k<0\)
Conclusion :le réel
donne une position au point
à partir du point
et à l'aide du vecteur
. Le rôle du vecteur
est de donner une direction à la droite
.
Vecteur directeur d'une droite
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Propriété
Soit
un point du plan et
un vecteur non nul. L'ensemble des points
du plan tels que les vecteurs
et
sont colinéaires est une droite passant par
.
Démonstrationpartielle
Démontrons que la droite obtenue passe par le point
.
On considère le vecteur
. C'est le vecteur nul.
Or, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En particulier, il est colinéaire au vecteur
.
Donc le point
appartient à l'ensemble considéré, qui est une droite.
Définition
Soit
un point du plan et
un vecteur non nul. On considère la droite qui est l'ensemble des points
du plan tels que les vecteurs
et
sont colinéaires.
On dit que le vecteur
est unvecteur directeurde cette droite.
Propriété
Soit
et
deux points distincts. Le vecteur
est unvecteur directeurde la droite
.
Tout vecteur non nul colinéaire à
est un vecteur directeur de la droite
.
Exemples
- Les vecteurs\(\overrightarrow{\text{AB}}\),\(\overrightarrow{u}\) et\(\overrightarrow{v}\) sont des vecteurs directeurs de la droite\((\text{AB})\) illustrée ci-dessous.
- Soit\(\text A(1;2)\) et\(\text B(4;3)\) deux points du plan.Alors un vecteur directeur de la droite\((\text{AB})\) est le vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\).Les vecteurs\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 15 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\) et\(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}\) sont également des vecteurs directeurs de la droite\((\text{AB})\).
Propriété
Soit
une droite et
un vecteur directeur de cette droite.
Les vecteurs directeurs de la droite
sont tous les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur
.
Remarque
Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs. Ces vecteurs directeurs sont tous les vecteurs du plan qui ont même direction que celle de la droite.