Vecteurs, repérage et systèmes dans le plan

✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Méthode

On considère le système de deux équations linéaires à deux inconnues suivant :

\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\\ \end{cases}

où

a

,

a'

,

b

,

b'

,

c

,

c'

sont des réels donnés.

x

et

y

sont lesinconnuesde ce système d'équations.

Lorsqu'elles existent, les valeurs de

x

et

y

qui rendent les deux égalités vraies en même temps forment lecouple solution du système, noté\((x~;~y)\).

Les deux équations qui constituent ce système sont des équations cartésiennes de droites dans un repère du plan. Résoudre un tel système revient donc à chercher l'éventuel point d'intersection de ces droites qu'on note

d_1

et

d_2

.
La droite

d_1

 est dirigée par le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\)et la droite

d_2

 est dirigée par le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{v}\binom{-b'}{a'}\).Les droites\(d_1\)et

d_2

sont parallèles si et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si

-b\times a' = -b'\times a

soit 

\boxed{ab'-a'b=0}

.

On appelledéterminantdu systèmela quantité

ab'-a'b

.
Les droites sont donc parallèles si et seulement si le déterminant du système est nul.

Dans le plan, deux droites sont soit parallèles confondues, soit strictement parallèles, soit sécantes.

Premier cas :les deux droites sont confondues
Le système admet alors une infinité de couples solutions. 
Deuxième cas: les deux droites sont strictement parallèles
Le système n'admet aucun couple solution.
Troisième cas : les droites sont sécantes.
Le système admet un unique couple solution.

✎☛ Résoudre un système par substitution

MéthodePar substitution

Pour résoudre par substitution un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on exprime, dans l'une des équations, l'une des inconnues en fonction de l'autre puis on remplace cette expression dans l'équation restante. On vérifie ensuite que le couple obtenue est bien solution du système.

Énoncé

Résoudre le système suivant par substitution : 

\begin{cases} 2x-3y=-1 \\ x-y=-1 \end{cases}

.

Solution

Le déterminant du système est : 

2\times (-1)-1\times (-3)=1

.
Il est différent de 0, donc le système admet un unique couple solution.
On note

E_1

et

E_2

les deux équations du système: \(\begin{cases}  2x-3y=-1 \quad E_1\\  x-y=-1 \qquad E_2  \end{cases}\).
On exprime, dans

E_2

,

y

en fonction de 

x

(on aurait aussi pu exprimer 

x

en fonction de 

y

) :

y=x+1

.
On remplace cette expression de

y

 dans

E_1

:

2x-3(x+1)=-1 \Leftrightarrow 2x-3x-3=-1 \Leftrightarrow -x=2 \Leftrightarrow x=-2

.
On obtient : 

y=x+1=-2+1=-1

.
On vérifie que le couple

(-2~;-1)

est bien solution du système.
Conclusion:

(-2~;-1)

est le couple solution du système.

✎☛ Résoudre un système par combinaison

MéthodePar combinaison

Lorsque l'on résout par combinaison un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on ajoute ou on soustrait les deux équations membre à membre. Pour cela, on doit parfois auparavant multiplier (ou diviser) les membres d'une (ou deux) équation(s) par un nombre non nul bien choisi.

Énoncé

Résoudre le système suivant par combinaison : 

\begin{cases} 5x+3y=2 \\ -10x+4y=-14 \end{cases}

.

Solution

Le déterminant du système est : 

5\times 4-(-10)\times 3=50

.
Il est différent de 

0

, donc le système admet un unique couple solution.
On note

E_1

et

E_2

les deux équations du système : 

\begin{cases} 5x+3y=2 \hspace{1.55cm} E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}

.
On multiplie les deux membres de

E_1

par

2

.
On obtient le système suivant : \(\begin{cases} 10x+6y=4 \quad \qquad E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}\).
On ajoute, membre à membre, les deux équations.
On obtient :

(10x-10x)+(6y+4y)=4-14

 soit 

10y=-10

 soit 

y=-1

.
On remplace

y

par

-1

dans l'expression initiale de

E_1

.
On obtient :

5x+3\times (-1)=2 \Leftrightarrow 5x=5 \Leftrightarrow x=1

.
On vérifie que le couple

(1~;-1)

est bien solution des deux équations.
Conclusion:

(1~;-1)

est le couple solution du système.

Vecteurs, repérage et systèmes dans le plan

Vecteurs du plan

Formulaire

Image d'un point du plan par une translation

Somme de vecteurs du plan

Relation de Chasles dans le plan

Synthèse - Opérations sur les vecteurs du plan

Repérage dans le plan

Coordonnées d'un vecteur du plan

Coordonnées d'un point du plan

Vecteurs colinéaires

Coordonnées d'un vecteur et du milieu d'un segment

Un quadrilatère particulier

Résolution de système linéaire

✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

✎☛ Résoudre un système par substitution

✎☛ Résoudre un système par combinaison