Vers la première

1.Démontrer les deux égalités suivantes.a.Pour tout 

x\in\mathbb{R}

, on a :

x^2+4x+3=(x+2)^2-1

b.Pour tout 

x\in\mathbb{R}

, on a :

3x^2-6x-9=3(x-1)^2-12

2.Factoriser les expressions suivantes.a.

A(x)=(x+2)^2-1

b.

B(x)=(x-1)^2-4

Penser à utiliser la troisième identité remarquable!

3.En utilisant les résultats précédents, résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes.a.

x^2+4x+3=0

b.

3x^2-6x-9=0

Propriété

Soit

a

et

b

 deux réels.
On a :

|a|=0 \Leftrightarrow a=0

|a|=|b| \Leftrightarrow a=b\;\text{ou}\;a=-b

Exercice

1.Démontrer cette propriété.

2.Résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes.
    a.

|x-1|=|3x+1|

b.

|4-x|=|5x-2|

c.

|x+2|-|3x-1|=0

d.

2|x+3|=|3x-5|

 Propriété

Pour tout réel

a

, on a :

|-a|=|a|

.
Pour tous réels

a

et

b

, on a :

|a\times b|=|a|\times |b|

.
Pour tous réels

a

et

b

, avec

b

 non nul, on a :

|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}

.
Exemples

\(\quad |-2|=|2|=2\)

Soit 

x\in \mathbb{R}

. On a :

\(\quad |2\times x|=|2|\times|x|=2|x|\)
\(\quad |\dfrac{x}{5}|=\dfrac{|x|}{|5|}=\dfrac{|x|}{5}\)

Exercice

Démontrer la propriété ci-dessus.

Résoudre une équation du second degré